はじめに

層化抽出法は、母集団をいくつかの層に分け、各層から別々に標本を抽出する方法です。

たとえば調査対象が「全受講者」だとしても、受講者の中には学習量が多いグループと少ないグループがあるかもしれません。この違いを無視して標本を取ると、たまたま一方のグループが多く入っただけで推定値が大きく揺れます。

層化抽出の狙いは、層ごとの構成比を推定の中で固定し、層内のばらつきだけを主な不確実性として残すことです。

この記事では、母平均の推定を題材にして、次を数式で整理します。

単純無作為抽出の分散
層化推定量の不偏性
比例配分の分散
ネイマン配分の導出
具体例での計算

1. 問題設定

母集団の大きさを $N$ とします。母集団の各要素は、調査したい量

Y

を持つとします。この記事の具体例では、 $Y$ を「1 週間あたりの学習時間」として考えます。

母集団は $L$ 個の層に分かれているとします。層 $h$ の大きさを

N_h \qquad (h=1,\dots,L)

と書きます。各層の比率を

p_h := \frac{N_h}{N}

と定義します。したがって

\sum_{h=1}^L p_h = 1

です。

層 $h$ に属する個体の平均を $\mu_h$ 、分散を $\sigma_h^2$ とします。母集団全体から 1 人をランダムに選んだときの平均を

\mu := \mathbb{E}[Y]

と書くと、全体平均は層別平均の加重平均として

\boxed{ \mu = \sum_{h=1}^L p_h \mu_h }

になります。

これは「全体平均 = 各層の平均を、その層の人口比で重み付けしたもの」という自然な式です。

2. 全体分散の分解

層化抽出が効く理由を見るために、母集団全体の分散を分解します。

層を表す確率変数を $H$ とします。つまり

\mathbb{P}(H=h)=p_h

です。条件付き平均と条件付き分散は

\mathbb{E}[Y \mid H=h] = \mu_h, \qquad \mathbb{V}[Y \mid H=h] = \sigma_h^2

です。

全分散の公式より

\mathbb{V}[Y] = \mathbb{E}\left[\mathbb{V}[Y \mid H]\right] + \mathbb{V}\left(\mathbb{E}[Y \mid H]\right)

が成り立ちます。これを層の記号で書くと

\boxed{ \sigma^2 = \sum_{h=1}^L p_h \sigma_h^2 + \sum_{h=1}^L p_h(\mu_h-\mu)^2 }

です。

右辺の第 1 項は層内分散です。各層の中で個体がどれだけばらつくかを表します。

右辺の第 2 項は層間分散です。層ごとの平均 $\mu_h$ が全体平均 $\mu$ からどれだけ離れているかを表します。

単純無作為抽出では、この層内分散と層間分散の両方が推定量のばらつきに入ります。層化抽出では、層の構成比を固定して推定するため、層間分散による揺れを取り除けます。

3. 単純無作為抽出による母平均推定

まず、層を使わずに母集団全体から $n$ 個の標本を抽出するとします。標本を

Y_1,\dots,Y_n

とし、標本平均を

\bar{Y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i

とします。

大きな母集団から独立に抽出する近似を使うと、

\mathbb{E}[\bar{Y}] = \mu

なので、 $\bar{Y}$ は母平均 $\mu$ の不偏推定量です。また

\boxed{ \mathbb{V}[\bar{Y}] = \frac{\sigma^2}{n} }

です。

先ほどの分散分解を代入すると

\mathbb{V}[\bar{Y}] = \frac{1}{n} \left\{ \sum_{h=1}^L p_h \sigma_h^2 + \sum_{h=1}^L p_h(\mu_h-\mu)^2 \right\}

になります。

つまり、単純無作為抽出の分散には、層内のばらつきだけでなく、層ごとの平均差も入ります。層ごとの平均が大きく違うほど、標本平均は揺れやすくなります。

4. 層化抽出による推定量

次に、層 $h$ から $n_h$ 個の標本を抽出するとします。標本サイズの合計は

\sum_{h=1}^L n_h = n

です。

層 $h$ から抽出した値を

Y_{h1},\dots,Y_{h n_h}

とし、層内の標本平均を

\bar{Y}_h := \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h}Y_{hi}

とします。

層化抽出による母平均の推定量を

\boxed{ \hat{\mu}_{\mathrm{st}} := \sum_{h=1}^L p_h \bar{Y}_h }

と定義します。

これは「各層で平均を推定し、それを母集団内の比率 $p_h$ で重み付けして足す」という推定量です。

4.1 不偏性

各層内で無作為抽出しているので

\mathbb{E}[\bar{Y}_h] = \mu_h

です。したがって

\begin{aligned} \mathbb{E}[\hat{\mu}_{\mathrm{st}}] &= \mathbb{E}\left[ \sum_{h=1}^L p_h \bar{Y}_h \right] \\ &= \sum_{h=1}^L p_h \mathbb{E}[\bar{Y}_h] \\ &= \sum_{h=1}^L p_h \mu_h \\ &= \mu. \end{aligned}

よって、 $\hat{\mu}_{\mathrm{st}}$ は母平均 $\mu$ の不偏推定量です。

4.2 分散

層ごとの標本抽出が互いに独立だとします。このとき

\mathbb{V}[\bar{Y}_h] = \frac{\sigma_h^2}{n_h}

なので、

\begin{aligned} \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{st}}] &= \mathbb{V}\left[ \sum_{h=1}^L p_h \bar{Y}_h \right] \\ &= \sum_{h=1}^L p_h^2 \mathbb{V}[\bar{Y}_h] \\ &= \boxed{ \sum_{h=1}^L \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h} }. \end{aligned}

この式には、単純無作為抽出にあった層間分散

\sum_{h=1}^L p_h(\mu_h-\mu)^2

が出てきません。

層化抽出では、層の比率 $p_h$ を推定時に固定して使います。そのため、「どの層が何人くらい標本に入るか」という偶然による揺れが消えます。ここが層化抽出の中心です。

5. 比例配分

もっとも自然な配分は、母集団内の層比率に合わせて標本を配る方法です。これを比例配分と呼びます。

比例配分では

\boxed{ n_h = n p_h }

とします。

このとき、層化推定量の分散は

\begin{aligned} \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{prop}}] &= \sum_{h=1}^L \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n p_h} \\ &= \boxed{ \frac{1}{n}\sum_{h=1}^L p_h\sigma_h^2 }. \end{aligned}

これは、全体分散のうち層内分散だけを $n$ で割った形です。

単純無作為抽出の分散は

\frac{1}{n} \left\{ \sum_{h=1}^L p_h \sigma_h^2 + \sum_{h=1}^L p_h(\mu_h-\mu)^2 \right\}

でした。したがって比例配分の層化抽出では、層間分散の分だけ分散が小さくなります。

層ごとの平均が大きく違うほど、この改善は大きくなります。

6. ネイマン配分

比例配分は直感的ですが、常に分散を最小にするとは限りません。

層によってばらつき $\sigma_h$ が違うなら、ばらつきが大きい層に多めに標本を割り当てた方が効率的です。この考えを数式で最適化したものがネイマン配分です。

ここでは、各標本の調査コストが同じだと仮定します。目的は

\mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{st}}] = \sum_{h=1}^L \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h}

を、制約

\sum_{h=1}^L n_h = n

の下で最小化することです。

ラグランジュ関数を

\mathcal{L} = \sum_{h=1}^L \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h} + \lambda\left(\sum_{h=1}^L n_h-n\right)

と置きます。

$n_h$ で微分すると

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial n_h} = - \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h^2} + \lambda

です。最適点ではこれが 0 なので

\lambda = \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h^2}

となります。したがって

n_h \propto p_h\sigma_h

です。

合計が $n$ になるように正規化すると、

\boxed{ n_h = n \frac{p_h\sigma_h}{\sum_{k=1}^L p_k\sigma_k} }

を得ます。これがネイマン配分です。

このときの最小分散は

\boxed{ \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{Neyman}}] = \frac{\left(\sum_{h=1}^L p_h\sigma_h\right)^2}{n} }

になります。

この式から、ネイマン配分は次の 2 つの要素で標本を配ることが分かります。

$p_h$ が大きい層には多く配る
$\sigma_h$ が大きい層にも多く配る

比例配分は $p_h$ だけを見ます。ネイマン配分は、層の大きさと層内のばらつきを同時に見ます。

7. 有限母集団補正

ここまでの式は、大きな母集団から独立に抽出する近似で書きました。

実際には、有限母集団から非復元抽出することも多いです。この場合は有限母集団補正が入ります。

層 $h$ の有限母集団分散を

S_h^2 := \frac{1}{N_h-1} \sum_{i=1}^{N_h}(Y_{hi}-\mu_h)^2

とします。層 $h$ から非復元で $n_h$ 個を抽出すると

\mathbb{V}[\bar{Y}_h] = \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{S_h^2}{n_h}

です。

したがって層化推定量の分散は

\boxed{ \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{st}}] = \sum_{h=1}^L p_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right) \frac{S_h^2}{n_h} }

となります。

$n_h/N_h$ が小さいとき、

1-\frac{n_h}{N_h} \approx 1

なので、前節までの式に近くなります。

8. 具体例：学習時間調査

あるオンライン学習サービスで、受講者全体の 1 週間あたりの平均学習時間を推定したいとします。

受講者は次の 2 層に分かれているとします。

層	人数 $N_h$	比率 $p_h$	層内平均 $\mu_h$	層内標準偏差 $\sigma_h$
集中学習層	600	0.25	8 時間	4 時間
ライト学習層	1800	0.75	3 時間	2 時間
合計	2400	1.00	-	-

全体から合計 $n=120$ 人を調査することにします。

8.1 母平均

母平均は

\begin{aligned} \mu &= p_1\mu_1+p_2\mu_2 \\ &= 0.25\cdot 8 + 0.75\cdot 3 \\ &= 4.25 \end{aligned}

です。

したがって、全受講者の平均学習時間は 1 週間あたり 4.25 時間です。

8.2 母分散

まず層内分散の加重平均は

\begin{aligned} \sum_{h=1}^2 p_h\sigma_h^2 &= 0.25\cdot 4^2 + 0.75\cdot 2^2 \\ &= 4 + 3 \\ &= 7 \end{aligned}

です。

次に層間分散は

\begin{aligned} \sum_{h=1}^2 p_h(\mu_h-\mu)^2 &= 0.25(8-4.25)^2 + 0.75(3-4.25)^2 \\ &= 0.25\cdot 14.0625 + 0.75\cdot 1.5625 \\ &= 3.515625 + 1.171875 \\ &= 4.6875 \end{aligned}

です。

したがって全体分散は

\sigma^2 = 7 + 4.6875 = 11.6875

です。

9. 単純無作為抽出の場合

層を無視して $n=120$ 人を抽出すると、標本平均の分散は

\begin{aligned} \mathbb{V}[\bar{Y}] &= \frac{\sigma^2}{n} \\ &= \frac{11.6875}{120} \\ &\approx 0.0974 \end{aligned}

です。

標準誤差は

\sqrt{0.0974}\approx 0.312

です。

この分散には、集中学習層とライト学習層の平均差から生じる層間分散も含まれています。

10. 比例配分の場合

比例配分では

n_1 = 120\cdot 0.25 = 30, \qquad n_2 = 120\cdot 0.75 = 90

です。

層化推定量の分散は

\begin{aligned} \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{prop}}] &= \frac{p_1^2\sigma_1^2}{n_1} + \frac{p_2^2\sigma_2^2}{n_2} \\ &= \frac{0.25^2\cdot 4^2}{30} + \frac{0.75^2\cdot 2^2}{90} \\ &= \frac{1}{30} + \frac{2.25}{90} \\ &= 0.0333 + 0.0250 \\ &= 0.0583. \end{aligned}

標準誤差は

\sqrt{0.0583}\approx 0.242

です。

単純無作為抽出の分散は $0.0974$ でした。比例配分の層化抽出では $0.0583$ まで下がります。

これは層間分散を取り除けたためです。

11. ネイマン配分の場合

ネイマン配分では

n_h = n \frac{p_h\sigma_h}{p_1\sigma_1+p_2\sigma_2}

です。

今回の値では

p_1\sigma_1+p_2\sigma_2 = 0.25\cdot 4 + 0.75\cdot 2 = 2.5

なので、

\begin{aligned} n_1 &= 120\cdot \frac{0.25\cdot 4}{2.5} = 48, \\ n_2 &= 120\cdot \frac{0.75\cdot 2}{2.5} = 72. \end{aligned}

比例配分では集中学習層に 30 人でした。ネイマン配分では 48 人を割り当てます。集中学習層は人数比では 25% ですが、標準偏差が大きいため、多めに標本を取る方が効率的です。

分散は

\begin{aligned} \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{Neyman}}] &= \frac{0.25^2\cdot 4^2}{48} + \frac{0.75^2\cdot 2^2}{72} \\ &= \frac{1}{48} + \frac{2.25}{72} \\ &= 0.0208 + 0.0313 \\ &= 0.0521. \end{aligned}

標準誤差は

\sqrt{0.0521}\approx 0.228

です。

結果を並べると次のようになります。

方法	配分	分散	標準誤差
単純無作為抽出	層を使わない	0.0974	0.312
比例配分	$(n_1,n_2)=(30,90)$	0.0583	0.242
ネイマン配分	$(n_1,n_2)=(48,72)$	0.0521	0.228

層化抽出によって、単純無作為抽出より分散が大きく下がります。さらに、層内標準偏差を考慮することで、比例配分よりネイマン配分の方が分散を小さくできます。

12. 配分を変えたときの分散

2 層で合計 $n=120$ の場合、 $n_2=120-n_1$ です。したがって層化推定量の分散は

V(n_1) = \frac{p_1^2\sigma_1^2}{n_1} + \frac{p_2^2\sigma_2^2}{120-n_1}

と書けます。

次の図では、集中学習層への割当数 $n_1$ を変えたときに分散がどう変わるかを示します。

$層化抽出における配分と分散の関係$

比例配分の $n_1=30$ よりも、ネイマン配分の $n_1=48$ の方が分散の小さい位置にあります。高分散の層へ標本を多めに割り当てることで、全体推定量の分散が下がっています。

13. なぜ層化抽出で分散が下がるのか

比例配分の層化抽出と単純無作為抽出を比較します。

単純無作為抽出の分散は

\mathbb{V}[\bar{Y}] = \frac{1}{n} \left\{ \sum_{h=1}^L p_h\sigma_h^2 + \sum_{h=1}^L p_h(\mu_h-\mu)^2 \right\}

でした。

比例配分の層化抽出の分散は

\mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{prop}}] = \frac{1}{n} \sum_{h=1}^L p_h\sigma_h^2

です。

差を取ると

\begin{aligned} \mathbb{V}[\bar{Y}] - \mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{prop}}] &= \frac{1}{n} \sum_{h=1}^L p_h(\mu_h-\mu)^2. \end{aligned}

右辺は非負です。したがって

\mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{prop}}] \le \mathbb{V}[\bar{Y}]

です。

この不等式は、層化抽出の基本的な直感をそのまま表しています。層ごとの平均が違うほど、単純無作為抽出は「どの層がどれだけ標本に入ったか」によって揺れます。層化抽出では各層の重み $p_h$ を固定するため、その揺れを消せます。

14. 実務上の注意点

層化抽出は強力ですが、前提を外すと効果が弱くなります。

まず、層は調査前に分かっている必要があります。抽出後に都合よく分類するだけでは、設計としての層化抽出にはなりません。

次に、層ごとの母集団比率 $p_h$ が必要です。推定量

\hat{\mu}_{\mathrm{st}} = \sum_{h=1}^L p_h \bar{Y}_h

では、標本内の比率ではなく母集団内の比率で重み付けします。ここを間違えると、意図した不偏性が崩れることがあります。

また、層を細かくしすぎると、各層の標本サイズ $n_h$ が小さくなります。層内平均 $\bar{Y}_h$ が不安定になるため、層の数は「意味のある差を持ち、かつ十分な標本を確保できる」範囲に留める必要があります。

最後に、ネイマン配分を使うには層内標準偏差 $\sigma_h$ の情報が必要です。事前調査や過去データがない場合は、まず比例配分を使い、得られたデータから次回以降の配分を改善する方法が現実的です。

まとめ

層化抽出法は、母集団を層に分け、各層の平均を母集団比率で重み付けする推定方法です。

母平均の推定量は

\hat{\mu}_{\mathrm{st}} = \sum_{h=1}^L p_h \bar{Y}_h

であり、不偏推定量になります。

独立抽出の近似では、分散は

\mathbb{V}[\hat{\mu}_{\mathrm{st}}] = \sum_{h=1}^L \frac{p_h^2\sigma_h^2}{n_h}

です。

比例配分

n_h=np_h

では、単純無作為抽出の分散から層間分散を取り除けます。

さらに、層内標準偏差を考慮して

n_h = n \frac{p_h\sigma_h}{\sum_{k=1}^L p_k\sigma_k}

と配分すれば、同一コストの下で分散を最小にするネイマン配分になります。

層化抽出の本質は、「層ごとの違いをノイズとして放置せず、設計に組み込む」ことです。層の平均差が大きいほど、また層内のばらつきに差があるほど、層化抽出とネイマン配分の効果は大きくなります。