はじめに

所得や資産の不平等を議論するとき、よく使われる道具がローレンツ曲線とジニ係数です。

ローレンツ曲線は、人口を所得の低い順に並べたときに、下位 $p$ 割の人々が全体所得の何割を持つかを表す曲線です。ジニ係数は、その曲線が完全平等線からどれだけ離れているかを 1 つの数値に圧縮したものです。

この記事では、次の流れで整理します。

ローレンツ曲線を分位関数から定義する
ジニ係数を面積として導出する
ジニ係数と平均絶対差の関係を見る
パレート分布でローレンツ曲線を閉形式で求める
パレート分布のジニ係数

主眼は、ジニ係数は単なる経験的な指標ではなく、分布の分位関数から自然に導かれる量だと理解することです。

1. 問題設定

所得を表す非負の確率変数を

X \ge 0

とします。累積分布関数を

F(x) := \mathbb{P}(X \le x)

平均を

\mu := \mathbb{E}[X]

と書きます。以下では

0 < \mu < \infty

を仮定します。

分位関数を

Q(u) := F^{-1}(u) := \inf\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge u\}, \qquad 0 < u < 1

で定義します。

直感的には、 $Q(u)$ は所得の低い方から $u$ 割目にいる人の所得です。たとえば $Q(0.2)$ は下位 20% 点、 $Q(0.5)$ は中央値です。

2. ローレンツ曲線の定義

人口を所得の低い順に並べたとき、下位 $p$ 割の人々が持つ所得総額の割合を考えます。

連続分布では、下位 $p$ 割の所得総額は分位関数を使って

\int_0^p Q(u)\,du

と書けます。

一方、全体の平均所得は

\mu = \mathbb{E}[X] = \int_0^1 Q(u)\,du

です。したがって、ローレンツ曲線 $L(p)$ は

\boxed{ L(p) := \frac{1}{\mu}\int_0^p Q(u)\,du } \qquad 0 \le p \le 1

で定義されます。

この定義からすぐに

L(0)=0, \qquad L(1)=1

が分かります。 $p=0$ では誰も含まないので所得シェアは 0、 $p=1$ では全員を含むので所得シェアは 1 です。

また、 $Q(p)$ が増加関数なので

L'(p) = \frac{Q(p)}{\mu}

は $p$ とともに増加します。したがって、ローレンツ曲線は下に凸な曲線になります。

3. 完全平等線との比較

完全に平等な社会では、人口の下位 $p$ 割が所得の $p$ 割を持ちます。つまり

L(p)=p

です。この直線を完全平等線と呼びます。

一方、不平等がある場合、低所得側の人々が持つ所得シェアは人口シェアより小さくなるため、典型的には

L(p) \le p

となります。

次の図では、完全平等線とパレート分布から得られるローレンツ曲線を比較しています。 $\alpha$ が小さいほど分布の尾が重くなり、曲線は完全平等線から下に離れます。

パレート分布のローレンツ曲線

塗りつぶした領域は、完全平等線とローレンツ曲線の間の面積です。ジニ係数は、この面積を基準化した値として定義されます。

4. ジニ係数の面積による定義

完全平等線 $p$ とローレンツ曲線 $L(p)$ の間の面積を

A := \int_0^1 \{p - L(p)\}\,dp

とします。

完全平等線の下側の三角形の面積は

\int_0^1 p\,dp = \frac{1}{2}

です。そこでジニ係数 $G$ を

G := \frac{A}{1/2}

と定義します。すると

\begin{aligned} G &= 2\int_0^1 \{p - L(p)\}\,dp \\ &= 2\int_0^1 p\,dp - 2\int_0^1 L(p)\,dp \\ &= 1 - 2\int_0^1 L(p)\,dp. \end{aligned}

したがって、

\boxed{ G = 1 - 2\int_0^1 L(p)\,dp }

を得ます。

完全平等なら $L(p)=p$ なので

G = 1 - 2\int_0^1 p\,dp = 0

です。極端に不平等な分布では、ローレンツ曲線が横軸に近づくため、 $G$ は 1 に近づきます。

5. 分位関数で見たジニ係数

ローレンツ曲線の定義をジニ係数に代入すると、ジニ係数は分位関数だけで表せます。

まず

\int_0^1 L(p)\,dp = \int_0^1 \left( \frac{1}{\mu}\int_0^p Q(u)\,du \right)dp

です。積分順序を交換すると

\int_0^1 L(p)\,dp = \frac{1}{\mu} \int_0^1 (1-u)Q(u)\,du.

したがって

\begin{aligned} G &= 1 - \frac{2}{\mu}\int_0^1(1-u)Q(u)\,du \\ &= \frac{1}{\mu}\int_0^1 Q(u)\,du - \frac{2}{\mu}\int_0^1(1-u)Q(u)\,du \\ &= \frac{1}{\mu}\int_0^1 (2u-1)Q(u)\,du. \end{aligned}

つまり

\boxed{ G = \frac{1}{\mu}\int_0^1 (2u-1)Q(u)\,du }

です。

この式は、上位側の分位ほど大きな重みを持ち、下位側の分位ほど負の重みを持つことを表しています。所得が上位側に強く偏るほど、ジニ係数は大きくなります。

6. 平均絶対差としてのジニ係数

ジニ係数には、もう 1 つよく使われる表現があります。 $X'$ を $X$ と独立で同じ分布に従う確率変数とすると、

\boxed{ G = \frac{\mathbb{E}[|X-X'|]}{2\mu} }

です。

この式は、ジニ係数が「ランダムに 2 人を選んだときの所得差の平均」を、平均所得で基準化した量だと解釈できることを示します。

簡単に導出します。 $U,V$ を互いに独立な一様分布 $\operatorname{Unif}(0,1)$ とすると、 $Q(U)$ と $Q(V)$ はそれぞれ $X$ と同じ分布を持ちます。したがって

\mathbb{E}[|X-X'|] = \int_0^1\int_0^1 |Q(u)-Q(v)|\,du\,dv.

$Q$ は増加関数なので、 $u \le v$ なら $Q(u)\le Q(v)$ です。よって

\begin{aligned} \mathbb{E}[|X-X'|] &= 2\int_0^1\int_0^v \{Q(v)-Q(u)\}\,du\,dv \\ &= 2\int_0^1 vQ(v)\,dv - 2\int_0^1 (1-u)Q(u)\,du \\ &= 2\int_0^1 (2u-1)Q(u)\,du. \end{aligned}

これを先ほどの分位関数表示と比べると、

G = \frac{\mathbb{E}[|X-X'|]}{2\mu}

が得られます。

7. パレート分布

ここから、所得や資産の上位尾を表す単純なモデルとしてパレート分布を考えます。

下限を $x_m>0$ 、形状パラメータを $\alpha>0$ とし、

F(x) = 1-\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha, \qquad x \ge x_m

で定義される分布をパレート分布と呼びます。

生存関数は

\mathbb{P}(X>x) = \left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha

です。 $\alpha$ が小さいほど尾が重く、大きな所得が出やすくなります。

密度関数は

f(x) = \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}, \qquad x \ge x_m

です。

平均は

\begin{aligned} \mu &= \int_{x_m}^{\infty}x f(x)\,dx \\ &= \int_{x_m}^{\infty} x \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}\,dx \\ &= \alpha x_m^\alpha \int_{x_m}^{\infty}x^{-\alpha}\,dx. \end{aligned}

この積分が有限になるのは $\alpha>1$ のときです。その場合、

\begin{aligned} \mu &= \alpha x_m^\alpha \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_{x_m}^{\infty} \\ &= \alpha x_m^\alpha \frac{x_m^{1-\alpha}}{\alpha-1} \\ &= \frac{\alpha x_m}{\alpha-1}. \end{aligned}

したがって、ローレンツ曲線とジニ係数を通常の意味で定義するには

\alpha > 1

が必要です。

8. パレート分布の分位関数

パレート分布の分位関数を求めます。

p = F(x) = 1-\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha

なので

1-p = \left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha.

両辺を $-1/\alpha$ 乗すると

x = x_m(1-p)^{-1/\alpha}.

したがって

\boxed{ Q(p) = x_m(1-p)^{-1/\alpha} } \qquad 0<p<1

です。

$p$ が 1 に近づくと $(1-p)^{-1/\alpha}$ が大きくなるため、上位分位が強く伸びます。これがパレート分布の厚い尾です。

9. パレート分布のローレンツ曲線

ローレンツ曲線の定義に、パレート分布の分位関数を代入します。

L(p) = \frac{1}{\mu}\int_0^p x_m(1-u)^{-1/\alpha}\,du.

$\alpha>1$ なので、 $1-1/\alpha>0$ です。積分は

\begin{aligned} \int_0^p x_m(1-u)^{-1/\alpha}\,du &= x_m \left[ \frac{(1-u)^{1-1/\alpha}}{-(1-1/\alpha)} \right]_0^p \\ &= \frac{x_m}{1-1/\alpha} \left\{ 1-(1-p)^{1-1/\alpha} \right\} \\ &= \frac{\alpha x_m}{\alpha-1} \left\{ 1-(1-p)^{1-1/\alpha} \right\}. \end{aligned}

一方、平均は

\mu=\frac{\alpha x_m}{\alpha-1}

でした。したがって割り算すると、

\boxed{ L(p) = 1-(1-p)^{1-1/\alpha} }

を得ます。

ここで重要なのは、パレート分布のローレンツ曲線が $x_m$ に依存しないことです。所得の単位や下限を何倍しても、不平等の形は変わりません。ジニ係数も同様に、スケールではなく尾の重さ $\alpha$ だけで決まります。

10. パレート分布のジニ係数

次に、パレート分布のジニ係数を求めます。

ローレンツ曲線は

L(p) = 1-(1-p)^\beta, \qquad \beta := 1-\frac{1}{\alpha}

です。 $\alpha>1$ なので $0<\beta<1$ です。

ジニ係数は

G = 1-2\int_0^1 L(p)\,dp

でした。まず

\begin{aligned} \int_0^1 L(p)\,dp &= \int_0^1 \{1-(1-p)^\beta\}\,dp \\ &= 1-\int_0^1 (1-p)^\beta\,dp \\ &= 1-\frac{1}{\beta+1} \\ &= \frac{\beta}{\beta+1}. \end{aligned}

したがって

\begin{aligned} G &= 1 - 2\frac{\beta}{\beta+1} \\ &= \frac{1-\beta}{1+\beta}. \end{aligned}

$\beta=1-1/\alpha$ を戻すと

\begin{aligned} G &= \frac{1-(1-1/\alpha)}{1+(1-1/\alpha)} \\ &= \frac{1/\alpha}{2-1/\alpha} \\ &= \frac{1}{2\alpha-1}. \end{aligned}

よって、パレート分布のジニ係数は

\boxed{ G = \frac{1}{2\alpha-1} } \qquad \alpha>1

です。

たとえば、

$\alpha=1.2$ なら $G=1/1.4\approx 0.714$
$\alpha=2$ なら $G=1/3\approx 0.333$
$\alpha=5$ なら $G=1/9\approx 0.111$

です。 $\alpha$ が小さいほど尾が重くなり、ジニ係数は大きくなります。

11. 上位シェアとの関係

ローレンツ曲線を使うと、上位 $q$ 割が持つ所得シェアも簡単に書けます。

下位 $1-q$ 割の所得シェアは $L(1-q)$ なので、上位 $q$ 割の所得シェア $S(q)$ は

S(q) = 1-L(1-q).

パレート分布では

\begin{aligned} S(q) &= 1-\left\{ 1-q^{1-1/\alpha} \right\} \\ &= q^{1-1/\alpha}. \end{aligned}

したがって

\boxed{ S(q) = q^{1-1/\alpha} }

です。

たとえば上位 20% のシェアは

S(0.2) = 0.2^{1-1/\alpha}

です。いわゆる 80:20 のような強い集中は、かなり小さい $\alpha$ 、つまり重い尾を意味します。

12. 限界と注意点

ローレンツ曲線とジニ係数は便利ですが、いくつか注意点があります。

まず、ジニ係数は 1 つの数値なので、分布のどこで不平等が生じているかまでは表しません。低所得層の格差と高所得層の集中が、同じジニ係数を生むことがあります。

次に、パレート分布は上位尾を表すには便利ですが、所得分布全体を説明するモデルではありません。現実の所得分布では、低所得側や中間層は対数正規分布など別の形で近似されることが多く、パレート分布は上位尾の近似として使う方が自然です。

また、 $\alpha \le 1$ では平均が発散します。この場合、通常のローレンツ曲線やジニ係数は有限平均を前提とするため、そのままでは定義できません。厚い尾のモデルでは、平均が存在するかどうかを最初に確認する必要があります。

最後に、実データでは上位所得の欠測、トップコーディング、税引き前後の違い、世帯単位の調整などがジニ係数に大きく影響します。数式上のジニ係数と推定されたジニ係数を比較するときは、データ生成過程と観測方法を分けて考える必要があります。

まとめ

この記事では、ローレンツ曲線、ジニ係数、パレート分布の関係を数式で整理しました。

ローレンツ曲線は、分位関数 $Q(u)$ を使って $L(p)=\frac{1}{\mu}\int_0^p Q(u)\,du$ と書ける。
ジニ係数は、完全平等線とローレンツ曲線の間の面積から $G=1-2\int_0^1 L(p)\,dp$ と導かれる。
ジニ係数は、平均絶対差を使って $G=\frac{\mathbb{E}[|X-X'|]}{2\mu}$ とも表せる。
パレート分布では $L(p)=1-(1-p)^{1-1/\alpha}$ となる。
パレート分布のジニ係数は $G=\frac{1}{2\alpha-1}$ であり、尾の重さ $\alpha$ だけで決まる。

ローレンツ曲線とジニ係数は、分布の形を直感的に見る道具であり、パレート分布は「尾の重さ」が不平等にどう効くかを明示的に見せてくれるモデルです。