はじめに

仮想通貨のデルタニュートラル戦略は、しばしば

「価格方向を取らずにFundingを取りに行く戦略」
「現物と先物をぶつけるだけの簡単な裁定」

として説明されます。

しかし実際には、収益・リスクの源泉は複数あり、
何がキャンセルされ、何が残るか を数式で分解しないと設計を誤ります。

この記事では、数理ファイナンスの観点から

価格過程とヘッジ比率
PnL分解
基差（basis）とFundingの確率モデル
清算（liquidation）を含む制約付き最適化

を理論中心で整理します。

1. セットアップ: 何を「中立化」するのか

まず、対象を明確化します。

現物価格: $S_t$
パーペチュアル価格: $F_t$
基差: $B_t = \log(F_t/S_t)$
Fundingレート（単位時間）: $f_t$

典型戦略は

現物ロング
Perpショート

で、狙いは「一次の価格感応度（デルタ）」の打ち消しです。

デルタニュートラルは

\frac{\partial \Pi}{\partial S} \approx 0

を意味しますが、価格リスクがゼロ を意味しません。
残るのは主に

基差変動リスク
Funding変動リスク
取引コスト/借入コスト
清算リスク

です。

参考リンク:

2. 連続時間モデルと最小分散ヘッジ比率

一般に、瞬間収益率を

\frac{dS_t}{S_t} = \mu_S dt + \sigma_S dW_t^S, \qquad \frac{dF_t}{F_t} = \mu_F dt + \sigma_F dW_t^F,

d\langle W^S, W^F \rangle_t = \rho\,dt

とします。

現物を $q_t$ 単位ロング、Perpを $h_t$ 単位ショートすると、

d\Pi_t = q_t dS_t - h_t dF_t + h_t F_t f_t dt - dC_t,

ここで $dC_t$ は手数料・スリッページ・借入等のコスト項です。

$q_t$ を固定したとき、拡散項分散を最小化する $h_t$ は

h_t^* = q_t\,\frac{\rho\,\sigma_S}{\sigma_F}\,\frac{S_t}{F_t}.

重要点:

$\rho=1$ , $\sigma_S=\sigma_F$ , $F_t\approx S_t$ なら $h_t^*\approx q_t$ （単純1対1）
相関低下やボラ差があると、1対1は過不足ヘッジになる

つまり「デルタニュートラル」は固定比率ではなく、
本来は状態依存のヘッジ比率です。

参考リンク:

3. 現物×PerpのPnL分解（理論の核）

実務でよく使う等額ノーション設定:

現物 $N$ ドル相当ロング: 単位数 $N/S_t$
Perp $N$ ドル相当ショート: 単位数 $N/F_t$

このとき

d\Pi_t = \frac{N}{S_t}dS_t - \frac{N}{F_t}dF_t + N f_t dt - dC_t.

さらに $F_t=S_t e^{B_t}$ を使うと、近似的に

\frac{dF_t}{F_t} \approx \frac{dS_t}{S_t} + dB_t

より

\frac{d\Pi_t}{N} \approx -dB_t + f_t dt - dc_t,

（ $dc_t=dC_t/N$ ）。

ここから分かること:

一次の方向リスク $dS_t/S_t$ はほぼ消える
残る収益源泉は $f_t$ と $-dB_t$
残る主要リスクは基差ジャンプとFundingレジーム変化

よってこの戦略は実態として

「価格方向」ではなく
Fundingと基差の確率過程

にベットしていると解釈できます。

参考リンク:

4. 基差とFundingの確率モデル

4.1 基差 $B_t$ の平均回帰モデル

基差はしばしば平均回帰的とみなされ、

dB_t = \kappa(\theta - B_t)dt + \eta dW_t^B + dJ_t

（ジャンプ $J_t$ を許容）でモデル化できます。

この場合、 $-dB_t$ を受け取る側（現物ロング×Perpショート）は

$B_t$ が高い局面で有利（収束益を得やすい）
ただしジャンプで逆方向に飛ぶ tail risk を持つ

となります。

4.2 Funding $f_t$ のレジーム依存

Fundingは市場逼迫に応じて符号・水準が切り替わるため、単純定数より

マルコフレジーム
自己励起ジャンプ（急騰時にスパイク）

のほうが実務に近いです。

期待収益は概念的に

\mathbb{E}[d\Pi_t] \approx N\bigl(\mathbb{E}[f_t]-\mathbb{E}[dB_t/dt]-\bar c_t\bigr)dt

で評価できますが、重要なのは平均よりも
分布の歪み（極端局面） です。

参考リンク:

5. 清算リスクを入れたとき何が変わるか

暗号資産のデルタニュートラルで古典裁定と決定的に違うのは、
証拠金制約と強制清算です。

残余損益過程 $X_t$ を

dX_t = \mu_X dt + \sigma_X dW_t,

清算境界を $-a$ （ $a>0$ ）として

\tau = \inf\{t\ge 0: X_t \le -a\}

を定義すると、戦略評価は

平均PnL最大化
$\mathbb{P}(\tau \le T)$ の抑制

のトレードオフになります。

つまり「期待値が正」だけでは不十分で、
生存確率（survival probability）を内生化した設計 が必要です。

参考リンク:

6. 離散リバランス誤差とコスト最適化

理論最適比率 $h_t^*$ を連続で追うことは不可能なので、離散リバランスになります。

時刻列 $t_0<t_1<\cdots$ で更新する場合、

\varepsilon_T = \int_0^T (h_t-h_t^*)\,dF_t

がヘッジ誤差で、更新頻度を上げるほど小さくなる一方、取引コストは増えます。

典型的には

\min_{\{t_i\}}\; \mathbb{E}[\varepsilon_T^2] + \lambda\,\mathbb{E}[\text{turnover cost}]

という二次目的に落ちます。

したがって実装で重要なのは

「常時リバランス」でも
「放置」でもなく
誤差分散とコストの境界最適化

です。

参考リンク:

7. オプション型デルタニュートラルとの接続

暗号資産でのデルタニュートラルは、現物×Perpだけでなく

オプション売買 + 先物ヘッジ

にも拡張されます。

この場合、一次感応度を消しても

ガンマ $\Gamma$
ベガ
ボラティリティ・オブ・ボラティリティ

が残り、PnLは

d\Pi \approx \frac{1}{2}\Gamma S^2\sigma^2 dt + \text{vega term} + \text{hedge error} - \text{cost}

で支配されます。

つまり「デルタニュートラル = 無リスク」ではなく、
どの高次感応度を保持する戦略か の選択問題です。

参考リンク:

8. まとめ

仮想通貨のデルタニュートラル戦略を数理的に要約すると:

消せるのは主に一次の方向リスク
残るのは基差・Funding・清算・実装誤差
収益源泉は「市場方向」ではなく「市場構造（資金需給）」
最適化は「期待PnL最大化」単独ではなく、生存制約つきで行う

設計上の本質は、

デルタを消すことではなく、残余リスクの確率構造を制御可能な形に落とすこと

にあります。

参考リンク:

9. 参考文献（章別対応）

9.1 第1章「セットアップ: 何を中立化するか」

Black-Scholes (1973)
連続時間で「何を複製し、何を中立化するか」の原点。
Merton (1973)
動的ヘッジの一般化と自己資金制約の定式化。
Angeris et al. (2022): A primer on perpetuals
Perpetual 契約での Funding と価格関係の理論整理。

9.2 第2章「連続時間モデルと最小分散ヘッジ比率」

Ederington (1979): The hedging performance of the new futures markets
最小分散ヘッジ比率の実証的ベンチマーク。
Myers and Thompson (1989): Generalized Optimal Hedge Ratio Estimation
単純回帰以外も含む一般化ヘッジ比率推定。
Aldrich: Hedging and minimum-variance hedge ratio (Lecture Notes)
$h^*=\rho\sigma_S/\sigma_F$ の導出を確認しやすい講義ノート。

9.3 第3章「現物×PerpのPnL分解」

Angeris et al. (2022): A primer on perpetuals
Perp の無裁定条件から PnL 構造を読む基礎。
Ackerer et al. (2023/2024): Perpetual Futures Pricing
線形/逆数/quanto 契約まで含めた価格付け統一モデル。
Deribit: Inverse Perpetual（契約とFunding計算）
実務式での Funding と premium のつながりを確認。

9.4 第4章「基差とFundingの確率モデル」

Kim, Park (2025): Designing funding rates for perpetual futures in cryptocurrency markets
Funding 設計を理論モデルとして扱う最新研究。
BIS Working Paper 1087: Crypto carry
基差・キャリーの実証分布と tail 特性の検証。
Deribit API: public/get_funding_rate_history
モデル校正に使う Funding 時系列データ取得。

9.5 第5章「清算リスクと生存確率」

Black and Cox (1976): A first-passage model for default risk
境界到達時刻で破綻を扱う first-passage の古典。
Herrmann and Tanré (2015): First-passage time of Brownian motion to a boundary
到達時刻分布の数値的取り扱いを補強。
Deribit: Liquidations
取引所実装での清算トリガー仕様。
Bybit: Liquidation Price (USDT Contract)
レバレッジと清算価格の実務計算式。

9.6 第6章「離散リバランス誤差とコスト」

Leland (1985): Option Pricing and Replication with Transactions Costs
離散ヘッジと取引コストを同時に扱う古典。
Boyle and Vorst (1992): Option replication in discrete time with transaction costs
離散時間複製での取引コスト影響を明示。
Whalley and Wilmott (1997): Asymptotic analysis of optimal hedging with transaction costs
no-trade band による実装可能な近似最適化。

9.7 第7章「オプション型デルタニュートラル」

Merton (1973)
動的ヘッジの理論基盤。
John C. Hull: Options, Futures, and Other Derivatives (Slides)
ガンマ・ベガを含む実務的 Greek 管理の復習資料。
Carr-Madan公式の導出と証明、数値実装（本サイト）
特性関数法に接続するオプション実装面の補助資料。

9.8 第8章「まとめ（戦略全体の再整理）」

Ackerer et al. (2023/2024): Perpetual Futures Pricing
Perp 価格付けの理論骨格。
Kim, Park (2025): Designing funding rates for perpetual futures in cryptocurrency markets
Funding 過程を設計変数として扱う視点。
Black and Cox (1976): A first-passage model for default risk
生存制約を持つ設計問題の基礎理論。