はじめに

構造推定は、単に

\mathbb{E}[Y \mid X]

の関係を当てるのではなく、経済主体の意思決定、制約、均衡条件、ショックの分布まで含めたモデルを立て、そのモデルのパラメータをデータから推定する方法です。

縮約形の回帰が

Y = X\beta + u

のように観測変数の間の統計的関係を直接書くのに対して、構造推定では

\text{observables} = \text{model}(\theta, \text{states}, \text{shocks})

という生成過程そのものを書きます。
このとき推定したい対象は係数 $\beta$ だけではなく、効用関数、費用関数、選好パラメータ、調整費用、情報構造などをまとめた

\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^p

です。

この記事では、構造推定の基本を数式ベースで整理します。流れは次の通りです。

構造モデルをどう書くか
識別とは何か
尤度・GMM・SMM でどう推定するか
動学モデルでなぜ NFXP や MPEC が出てくるのか
漸近理論と実務上の注意点

1. 問題設定

観測データを

W_1, \dots, W_n \in \mathcal{W}

とします。 $W_i$ は個票でも時系列ブロックでも構いません。構造推定では、これらのデータがあるパラメータ $\theta_0$ の下で生成されたと考えます。

最も抽象的には、モデルは

H(W_i, X_i, \varepsilon_i; \theta) = 0

という形で書けます。ここで

$W_i$ は観測変数
$X_i$ は潜在状態や未観測変数
$\varepsilon_i$ は外生ショック
$\theta$ は構造パラメータ

です。

例えば離散選択なら、個人 $i$ が選択肢 $a$ を選んだときの潜在効用を

U_{ia} = u(x_{ia}; \theta) + \varepsilon_{ia}

と書き、

y_i = \arg\max_{a \in \mathcal{A}} U_{ia}

から観測された選択 $y_i$ が生成されると考えます。
動学モデルなら Bellman 方程式、

V_\theta(s) = \max_{a \in \mathcal{A}(s)} \left\{ \pi(s,a;\theta) + \beta \mathbb{E}[V_\theta(s') \mid s,a] \right\}

が構造の中心になります。

重要なのは、観測データの分布が $\theta$ を通じて間接的に決まるという点です。
したがって構造推定の本質は、モデルが含意する分布またはモーメントをデータと一致させることです。

2. 構造モデルから観測分布へ

観測データ $W$ の密度または確率質量関数を $p_\theta(w)$ と書きます。
未観測変数 $X$ があるなら、観測分布は周辺化で

p_\theta(w) = \int p_\theta(w,x)\,dx

と書かれます。離散型なら積分を総和に置き換えればよいです。

この式は単純ですが、構造推定ではここに全てが入っています。
効用最大化、均衡条件、状態遷移、測定誤差、政策関数は最終的に $p_\theta(w)$ あるいはその含意するモーメント

M(\theta) = \mathbb{E}_\theta[m(W)]

へ写像されます。

つまり

\theta \longmapsto p_\theta(\cdot)

または

\theta \longmapsto M(\theta)

という写像が、構造推定の中心です。

3. 識別

3.1 大域的識別

構造パラメータ $\theta_0$ が分布ベースで識別されるとは、

p_\theta(w) = p_{\theta_0}(w) \ \text{a.s. for all } w \quad \Longrightarrow \quad \theta = \theta_0

が成り立つことです。

モーメントベースなら

M(\theta) = M(\theta_0) \quad \Longrightarrow \quad \theta = \theta_0

が識別条件です。

この条件が壊れると、データからは複数の $\theta$ が同じ観測分布を生むため、推定量をいくら精密に計算しても「真の値」に絞れません。

3.2 局所識別

実務では局所識別を Jacobian のランク条件で確認することが多いです。
モーメント条件

\mathbb{E}[g(W,\theta_0)] = 0, \qquad g(W,\theta) \in \mathbb{R}^q

を考えると、

G_0 := \frac{\partial}{\partial \theta'} \mathbb{E}[g(W,\theta)] \Big|_{\theta=\theta_0} \in \mathbb{R}^{q \times p}

が列フルランク、

\operatorname{rank}(G_0) = p

なら、 $\theta_0$ の近傍で局所識別が成立します。

直観的には、 $\theta$ を少し動かしたときにモデル含意が十分な方向に動く、ということです。
逆に $G_0$ がほぼ特異なら、弱識別や平坦な目的関数が起こりやすくなります。

4. 一般的な M 推定としての定式化

多くの構造推定は

\hat{\theta}_n = \arg\min_{\theta \in \Theta} Q_n(\theta)

または

\hat{\theta}_n = \arg\max_{\theta \in \Theta} L_n(\theta)

という M 推定として書けます。

例えば

Q_n(\theta) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n q(W_i;\theta)

が一様収束して

Q_n(\theta) \xrightarrow{u.p.} Q_0(\theta)

かつ $Q_0(\theta)$ が $\theta_0$ で一意に最小化されるなら、

\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta_0

が得られます。
したがって構造推定の理論は、結局は

目的関数が極限で何に収束するか
その極限問題が本当に $\theta_0$ を選ぶか

に整理されます。

5. 最尤法

観測分布 $p_\theta(w)$ を明示的に書けるなら、最も自然なのは最尤法です。

独立同分布の設定では対数尤度を

\ell_n(\theta) = \sum_{i=1}^n \log p_\theta(W_i)

と置き、

\hat{\theta}_{ML} = \arg\max_{\theta \in \Theta} \ell_n(\theta)

で推定します。

5.1 潜在変数がある場合

潜在変数 $X_i$ があるなら、

p_\theta(W_i) = \int p_\theta(W_i, X_i)\,dX_i

なので、尤度はしばしば高次元積分を含みます。
この積分が閉形式で計算できればよいですが、できない場合は

数値積分
フィルタリング
シミュレーション
EM 的な手続き

が必要になります。

5.2 漸近分布

正則条件の下でスコア

s(W_i,\theta) = \frac{\partial}{\partial \theta} \log p_\theta(W_i)

と Fisher 情報

I(\theta_0) = \mathbb{E}\left[s(W,\theta_0)s(W,\theta_0)'\right]

を使って

\sqrt{n}(\hat{\theta}_{ML}-\theta_0) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, I(\theta_0)^{-1})

が成り立ちます。
尤度が正しく特定されていない場合は、いわゆる sandwich 分散になります。

6. GMM

構造モデルから直接尤度を書くのが難しくても、モーメント条件なら書けることが多いです。
このとき一般化モーメント法 (GMM) を使います。

モーメント条件を

\mathbb{E}[g(W,\theta_0)] = 0, \qquad g(W,\theta) \in \mathbb{R}^q

とします。標本モーメントは

\bar{g}_n(\theta) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(W_i,\theta)

です。GMM 推定量は

\hat{\theta}_{GMM} = \arg\min_{\theta \in \Theta} \bar{g}_n(\theta)' W_n \bar{g}_n(\theta)

で定義されます。ここで $W_n$ は正定値の重み行列です。

効率的 GMM では

W_n \approx \Omega^{-1}, \qquad \Omega = \mathbb{E}[g(W,\theta_0)g(W,\theta_0)']

を使います。

6.1 漸近分布

Jacobian

G_0 = \mathbb{E}\left[\frac{\partial g(W,\theta_0)}{\partial \theta'}\right]

を用いると、

\sqrt{n}(\hat{\theta}_{GMM}-\theta_0) \xrightarrow{d} \mathcal{N}\left( 0, (G_0'WG_0)^{-1}G_0'W\Omega WG_0(G_0'WG_0)^{-1} \right).

特に $W=\Omega^{-1}$ なら

\operatorname{Avar}(\hat{\theta}_{GMM}) = (G_0'\Omega^{-1}G_0)^{-1}

となります。

6.2 構造推定での意味

構造推定で GMM を使うとき、 $g(W,\theta)$ は単なる回帰残差ではありません。例えば

Euler 方程式
需要と供給の均衡条件
マルコフ遷移の定常モーメント
政策関数から導かれる予測誤差

など、モデル固有の制約から作られます。
この点が通常の統計的モーメント推定と違います。

7. SMM と Indirect Inference

構造モデルは書けるが、理論モーメント

M(\theta) = \mathbb{E}_\theta[m(W)]

を解析的に計算できないことがあります。
その場合、パラメータ $\theta$ の下で人工データをシミュレーションし、シミュレートされたモーメントで現実データを近似します。

シミュレーション回数を $S$ として、人工データを $W_1^{(s)}(\theta),\dots,W_n^{(s)}(\theta)$ とすると、

\hat{M}_{n,S}(\theta) = \frac{1}{S}\sum_{s=1}^S \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n m(W_i^{(s)}(\theta)) \right)

と書けます。

実データのモーメント

\hat{M}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n m(W_i)

と比較して

\hat{\theta}_{SMM} = \arg\min_{\theta \in \Theta} \left(\hat{M}_n - \hat{M}_{n,S}(\theta)\right)' W_n \left(\hat{M}_n - \hat{M}_{n,S}(\theta)\right)

を最小化します。

SMM の利点は、モデルを厳密な閉形式に落とせなくても推定できることです。
一方で、 $S$ が小さいとシミュレーションノイズが大きく、目的関数が粗くなります。

8. 動学構造推定と固定点

構造推定が急に難しくなるのは、 $\theta$ を与えただけでは尤度やモーメントがすぐ計算できず、その前に主体の最適化問題や均衡条件を解かなければならないからです。

8.1 動学離散選択

状態 $s_t \in \mathcal{S}$ 、行動 $a_t \in \mathcal{A}$ 、フロー利得 $\pi(s_t,a_t;\theta)$ 、割引率 $\beta$ を考えます。
価値関数は

V_\theta(s) = \max_{a \in \mathcal{A}} \left\{ \pi(s,a;\theta) + \beta \sum_{s' \in \mathcal{S}} V_\theta(s') P_\theta(s' \mid s,a) \right\}.

右辺の作用素を $T_\theta$ と書けば、

V_\theta = T_\theta V_\theta

が Bellman 固定点条件です。

選択確率 $P_\theta(a \mid s)$ や状態遷移密度 $f_\theta(s' \mid s,a)$ を用いれば、パネルデータ $(s_{it}, a_{it}, s_{i,t+1})$ の対数尤度は概念的に

\ell_n(\theta) = \sum_{i,t} \log P_\theta(a_{it} \mid s_{it}) + \sum_{i,t} \log f_\theta(s_{i,t+1} \mid s_{it}, a_{it})

となります。

しかし $P_\theta(a \mid s)$ は $V_\theta$ を通じて決まるので、 $\ell_n(\theta)$ を評価するには毎回 Bellman 方程式を解く必要があります。

8.2 NFXP

これが Rust 型の NFXP (nested fixed point) です。
外側のループで $\theta$ を更新し、内側のループで

V_\theta = T_\theta V_\theta

を解きます。形式的には

\hat{\theta} = \arg\max_{\theta \in \Theta} \ell_n(\theta, V_\theta) \quad \text{subject to } V_\theta = T_\theta V_\theta.

NFXP の計算量が重いのは、候補パラメータごとに固定点を解き直すからです。

8.3 MPEC

MPEC は価値関数 $V$ 自体を最適化変数に含め、

\max_{\theta, V} \ \ell_n(\theta, V)

subject to

V - T_\theta V = 0

と書く方法です。

つまり NFXP では「内側で方程式を解いてから外側で最適化」していたのを、MPEC では

\text{optimize over } (\theta, V)

にまとめます。
計算の勝ち負けは問題依存ですが、制約付き最適化ソルバを使える点、微分情報を一括で扱いやすい点が利点です。

9. 縮約形との違い

構造推定を使う理由は、パラメータに経済学的意味があるからです。
例えば需要推定なら価格弾力性だけでなく、効用関数

u_{ij} = x_j'\beta - \alpha p_j + \xi_j + \varepsilon_{ij}

の $\alpha$ や $\beta$ を推定したいことがあります。
そのとき

\frac{\partial s_j}{\partial p_k}

のような需要弾力性だけでなく、

価格規制の反事実
新商品の導入
税率変更
補助金政策

のような「制度変更後の均衡」を計算したいわけです。

縮約形は局所的な因果効果の推定に強い一方、制度が変わると係数の不変性が崩れやすいです。
構造推定はモデルの仮定を強く置く代わりに、政策変更後の反事実分析を可能にします。

10. 漸近展開の見方

多くの構造推定量は、一階条件

\frac{\partial Q_n(\hat{\theta}_n)}{\partial \theta} = 0

または

\frac{\partial \ell_n(\hat{\theta}_n)}{\partial \theta} = 0

から導かれます。
$\theta_0$ の近傍で Taylor 展開すると、

0 = \frac{\partial Q_n(\theta_0)}{\partial \theta} + \frac{\partial^2 Q_n(\bar{\theta}_n)}{\partial \theta \partial \theta'} (\hat{\theta}_n - \theta_0)

なので、

\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) = - \left[ \frac{\partial^2 Q_n(\bar{\theta}_n)}{\partial \theta \partial \theta'} \right]^{-1} \sqrt{n} \frac{\partial Q_n(\theta_0)}{\partial \theta}.

この形を見ると、漸近分布は

勾配の中心極限定理
Hessian の確率収束

に分解されることが分かります。
構造推定が複雑でも、漸近理論の骨格自体は標準的な M 推定と同じです。

11. 実務上の難所

11.1 モデルの誤特定

現実のデータ生成過程がモデル族

\{p_\theta : \theta \in \Theta\}

に含まれない場合、推定量は「真の構造パラメータ」ではなく、擬似真値

\theta^\ast = \arg\min_{\theta \in \Theta} Q_0(\theta)

へ収束します。
反事実分析もこの擬似真値に依存するため、モデル誤特定の影響は縮約形より深刻です。

11.2 弱識別

目的関数が平坦だと、

Q_n(\theta_1) \approx Q_n(\theta_2)

となり、標準誤差が大きくなります。
局所的な二次近似が効かず、通常の Wald 型推論が不安定になることもあります。

11.3 計算誤差

動学モデルでは、推定誤差に加えて

固定点反復の打ち切り誤差
数値積分誤差
シミュレーション誤差
非凸最適化による局所解

が入ります。
構造推定では「統計の問題」と「数値解析の問題」が分離しません。

11.4 複数均衡

モデルが複数均衡をもつと、同じ $\theta$ でも観測分布が一意に定まらないことがあります。
この場合

\theta \longmapsto p_\theta

という写像自体が多価になるので、推定と識別の議論を修正しなければなりません。

12. まとめ

構造推定を数式で見ると、やっていることは一貫しています。

モデルが観測分布またはモーメントをどう生成するかを書き下す
その写像が識別を与えるか確認する
尤度、GMM、SMM などの目的関数を組み立てる
必要なら Bellman 方程式や均衡条件を内側で解く
M 推定の漸近理論で推定量を評価する

要するに構造推定は、

\theta \xrightarrow{\text{model}} p_\theta(\cdot) \text{ or } M(\theta) \xrightarrow{\text{fit to data}} \hat{\theta}

という写像を扱う問題です。

縮約形より仮定は重いですが、その代わり

パラメータに経済学的意味がある
制度変更の反事実分析ができる
最適化や均衡のメカニズムを直接テストできる

という利点があります。

構造推定を理解する鍵は、アルゴリズム名を覚えることではなく、

\text{識別} \quad + \quad \text{目的関数} \quad + \quad \text{内側のモデル解法}

の 3 つを分けて考えることです。
この 3 つを分解して見れば、最尤法も GMM も SMM も NFXP も、同じ骨組みの上に乗っていることが分かります。