はじめに

マクロ実証で政策ショックや技術ショックの波及経路を議論するとき、最もよく使われる道具のひとつがインパルス応答分析です。
「金利を 1 回だけ引き上げたとき、産出やインフレはその後どう動くか」を時系列で可視化する、というのが直観的な説明ですが、実際にはこれはベクトル自己回帰 (VAR) を無限次の移動平均表示に展開し、その係数列を読む操作です。

この記事では、マクロ経済学で使うインパルス応答分析を数理的に整理します。
中心となる論点は次の 4 つです。

縮約形 VAR からインパルス応答関数 (IRF) がどう定義されるか
なぜ共分散をもつ誤差項をそのままショックと呼べないのか
構造 VAR (SVAR) では識別がどこに入るのか
推定された IRF をどの程度まで因果的に読んでよいのか

マクロ経済学の文脈を意識しつつ、線形代数と時系列解析の記法で順番に導きます。

1. 問題設定

$n$ 次元のマクロ変数ベクトル

y_t = \begin{pmatrix} y_{1t} \\ \vdots \\ y_{nt} \end{pmatrix}

を考えます。例えば

y_t = (\text{GDP}, \text{inflation}, \text{policy rate})'

のようなベクトルです。
インパルス応答分析の目的は、あるショックが時点 $t$ に 1 回だけ加わったとき、その影響が将来の各変数へ何期にわたってどう伝播するかを定量化することです。

より形式的には、ショックを $\varepsilon_t \in \mathbb{R}^n$ 、時点 $t+h$ における変数 $y_{t+h}$ の反応を

\frac{\partial y_{t+h}}{\partial \varepsilon_t'}

のような形で捉えたいわけです。
ただし現実のデータから直接観測できるのは多くの場合 $\varepsilon_t$ ではなく、あくまで回帰の残差です。ここに IRF の理論的な肝があります。

2. 縮約形 VAR の定式化

2.1 VAR(p)

まず縮約形 VAR( $p$ ) を

y_t = c + A_1 y_{t-1} + \cdots + A_p y_{t-p} + u_t

と書きます。ここで

$c \in \mathbb{R}^n$ は定数項
$A_1, \dots, A_p \in \mathbb{R}^{n \times n}$ は係数行列
$u_t$ は平均 0、共分散行列 $\Sigma_u$ をもつ縮約形誤差

です。以降、

\mathbb{E}[u_t] = 0, \qquad \mathbb{E}[u_t u_t'] = \Sigma_u, \qquad \mathbb{E}[u_t u_s'] = 0 \ (t \neq s)

を仮定します。

定数項の扱いを簡単にするため、 $\mu = \mathbb{E}[y_t]$ が存在するとして偏差形

\tilde y_t = y_t - \mu

を用いると、

\tilde y_t = A_1 \tilde y_{t-1} + \cdots + A_p \tilde y_{t-p} + u_t

と書けます。以下では記号を簡単にするために再び $\tilde y_t$ を $y_t$ と書きます。

2.2 安定性条件

IRF を無限和として定義するには、VAR が安定である必要があります。
ラグ多項式

A(L) = I_n - A_1 L - \cdots - A_p L^p

を導入すると、安定性条件は

\det(A(z)) \neq 0 \qquad (|z| \le 1)

です。これは companion 行列のすべての固有値が単位円の内側にあることと同値です。
このとき VAR は無限次の移動平均表示をもちます。

3. VAR から MA 表現を導く

3.1 Wold 型の表現

安定性の下で、

y_t = \Psi(L) u_t = \sum_{h=0}^{\infty} \Psi_h u_{t-h}

という表現が成り立ちます。ここで

\Psi(L) = A(L)^{-1}, \qquad \Psi_0 = I_n

です。

係数 $\Psi_h$ は漸化式で求まります。

\Psi_h = \sum_{i=1}^{p} A_i \Psi_{h-i} \qquad (h \ge 1),

ただし $\Psi_h = 0$ for $h<0$ です。

これは重要です。なぜなら、インパルス応答は VAR の自己回帰係数 $A_i$ を直接見るのではなく、MA 表現の係数列 $\{\Psi_h\}_{h \ge 0}$ を読むからです。

3.2 1 変数 AR(1) との比較

最も簡単な場合として

y_t = \rho y_{t-1} + u_t, \qquad |\rho|<1

なら、

y_t = \sum_{h=0}^{\infty} \rho^h u_{t-h}

なので、時点 $t$ のショック $u_t$ に対する $h$ 期先の反応は単に $\rho^h$ です。
多変量ではこれが行列版になり、 $\Psi_h$ が各変数間の波及を全て含みます。

4. 縮約形インパルス応答関数

4.1 定義

縮約形誤差 $u_t$ の第 $k$ 成分に単位ショックが入ったときの、 $h$ 期先の第 $j$ 変数の反応を考えます。
$e_k$ を第 $k$ 成分だけが 1 の標準基底ベクトルとすると、

y_{t+h} = \sum_{s=0}^{\infty} \Psi_s u_{t+h-s}

より、時点 $t$ の残差に対する感応度は

\frac{\partial y_{t+h}}{\partial u_t'} = \Psi_h

です。したがって $(j,k)$ 成分の縮約形 IRF は

\text{IRF}^{\text{red}}_{jk}(h) = e_j' \Psi_h e_k

となります。

4.2 何が問題なのか

この定義は数式としては自然ですが、マクロ経済学では普通これだけでは不十分です。理由は、縮約形残差 $u_t$ の成分同士が同時点で相関しているからです。

\Sigma_u = \mathbb{E}[u_t u_t']

が対角行列でないとき、 $u_{kt}$ の 1 単位変化は「第 $k$ 変数に固有の純粋なショック」を意味しません。
同時点で他の成分も一緒に動いてしまうためです。

したがって、マクロの「金融政策ショック」や「供給ショック」を議論したいなら、残差を互いに直交した構造ショックへ分解する識別が必要になります。

5. 直交化と構造ショック

5.1 誤差共分散の分解

縮約形残差 $u_t$ を

u_t = B \varepsilon_t

と分解します。ここで

\mathbb{E}[\varepsilon_t] = 0, \qquad \mathbb{E}[\varepsilon_t \varepsilon_t'] = I_n

を満たす $\varepsilon_t$ を構造ショックと呼びます。すると

\Sigma_u = \mathbb{E}[u_t u_t'] = B B'

です。

この $B$ がわかれば、

y_t = \sum_{h=0}^{\infty} \Psi_h B \varepsilon_{t-h}

であり、構造ショックに対する反応は直ちに読めます。

5.2 構造 IRF

第 $k$ 構造ショックに対する $h$ 期先の反応は

\frac{\partial y_{t+h}}{\partial \varepsilon_t'} = \Psi_h B

です。したがって $(j,k)$ 成分の構造 IRF は

\text{IRF}^{\text{str}}_{jk}(h) = e_j' \Psi_h B e_k

となります。

ここで重要なのは、 $\Psi_h$ は縮約形 VAR のダイナミクス、 $B$ は同時点識別を担っていることです。
IRF はこの 2 つの積であり、

動学部分: $\Psi_h$
識別部分: $B$

にきれいに分かれます。

6. Cholesky 識別と順序依存性

6.1 最もよく使われる識別

もっとも標準的なのは Cholesky 分解です。
$\Sigma_u$ が正定値なら、

\Sigma_u = P P'

を満たす下三角行列 $P$ が一意に存在します。
このとき $B=P$ と置けば、

u_t = P \varepsilon_t

で $\varepsilon_t$ は直交化されます。

すると Cholesky IRF は

\text{IRF}^{\text{chol}}_{jk}(h) = e_j' \Psi_h P e_k

です。

6.2 経済学的な意味

$P$ が下三角ということは、変数の並び順を

y_t = (y_{1t}, y_{2t}, \dots, y_{nt})'

としたとき、同時点では

第 1 変数は他の変数の当期ショックから影響を受けない
第 2 変数は第 1 変数の当期ショックからは影響を受ける
...

という再帰的構造を置いていることを意味します。

例えば

y_t = (\text{output}, \text{prices}, \text{interest rate})'

と並べれば、「中央銀行は当期の産出と物価には反応できるが、産出と物価は当期の金利ショックに即時には反応しない」といった仮定を暗に課すことになります。

6.3 順序依存性

Cholesky 識別の難点は、IRF が変数の順序に依存することです。
行列 $P$ は変数の並べ替えで変わるため、

\Psi_h P

も変わります。
したがって Cholesky IRF は「統計的な直交化」ではありますが、経済理論による同時点制約をどこまで正当化できるかが常に問われます。

7. 一般の SVAR と識別問題

7.1 構造形

一般の構造 VAR はしばしば

A_0 y_t = a + A_1^* y_{t-1} + \cdots + A_p^* y_{t-p} + \varepsilon_t

と書かれます。ここで $A_0$ は同時点の相互依存を表す行列です。
$A_0$ が正則なら

y_t = A_0^{-1} a + A_0^{-1} A_1^* y_{t-1} + \cdots + A_0^{-1} A_p^* y_{t-p} + A_0^{-1} \varepsilon_t

なので、縮約形との対応は

u_t = A_0^{-1} \varepsilon_t, \qquad B = A_0^{-1}

です。

7.2 なぜ識別できないのか

縮約形 VAR から推定できるのは $A_1,\dots,A_p$ と $\Sigma_u$ です。
しかし $B$ は

\Sigma_u = B B'

しか満たしていないので、一意ではありません。実際、任意の直交行列 $Q$ に対して

\Sigma_u = BQQ'B' = (BQ)(BQ)'

です。
つまり縮約形共分散だけでは、構造ショックの向きは回転不定です。

このため、SVAR では追加の制約を置きます。代表例は次の通りです。

短期制約: $A_0$ や $B$ の特定要素を 0 にする
長期制約: 長期累積効果 $\sum_{h=0}^{\infty}\Psi_h B$ の特定要素を 0 にする
符号制約: 特定のショックに対する反応の符号を一定期間制約する
外生的手段変数: 高頻度サプライズなどを用いてショックを外生的に抽出する

マクロ経済学で IRF を読むときは、推定法の違いよりも、まず識別制約の妥当性が核心です。

8. 長期効果と累積インパルス応答

8.1 累積 IRF

フロー変数への効果を積み上げて見たい場合、累積応答

\text{CIRF}_{jk}(h) = \sum_{s=0}^{h} \text{IRF}_{jk}(s)

を用います。
例えば GDP 成長率へのショック効果を積み上げれば、GDP 水準への近似的な効果を読むことができます。

8.2 長期乗数

VAR が安定なら

\sum_{h=0}^{\infty} \Psi_h = \Psi(1) = \left(I_n - A_1 - \cdots - A_p\right)^{-1}

が成り立つので、構造ショックの長期効果は

\sum_{h=0}^{\infty} \Psi_h B = \left(I_n - A_1 - \cdots - A_p\right)^{-1} B

です。

Blanchard-Quah 型の長期識別は、この長期乗数行列の特定要素にゼロ制約を課す方法として理解できます。

9. 推定された IRF の統計的推論

9.1 推定誤差

実際には $A_i$ も $\Sigma_u$ も未知なので、OLS 等で推定して

\hat A_1, \dots, \hat A_p, \hat \Sigma_u

を得ます。そこから

\hat \Psi_h, \qquad \hat B, \qquad \widehat{\text{IRF}}(h)=\hat \Psi_h \hat B

を計算します。

IRF は係数推定量の非線形関数なので、信頼区間には漸近理論や bootstrap を使うのが普通です。
マクロ実証ではとくに residual bootstrap や wild bootstrap がよく使われます。

9.2 Delta method の見方

IRF をパラメータベクトル $\theta$ の関数

g_h(\theta)

と見れば、

\sqrt{T}\left(\hat \theta - \theta_0\right) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, V_\theta)

の下で

\sqrt{T}\left(g_h(\hat \theta)-g_h(\theta_0)\right) \xrightarrow{d} \mathcal{N}\left(0, G_h V_\theta G_h' \right)

が成り立ちます。ここで

G_h = \frac{\partial g_h(\theta_0)}{\partial \theta'}

です。
ただし実務上は、識別や有限標本歪みの影響が大きいため、delta method より bootstrap のほうが使いやすいことが多いです。

10. 局所投影法との関係

IRF を推定する別の代表的方法が Jord`a の局所投影法 (local projections, LP) です。
各ホライズン $h$ ごとに

y_{t+h} = \alpha_h + \beta_h x_t + \Gamma_h' w_t + \eta_{t+h}^{(h)}

のような回帰を別々に推定し、 $\beta_h$ を応答とみなします。

もし $x_t$ が外生的に識別されたショックなら、 $\beta_h$ はそのまま IRF です。
VAR ベースの方法との違いは次です。

VAR: 動学構造を強く仮定するかわりに効率的
LP: 各ホライズンを別々に推定するので頑健だが、長いホライズンで分散が大きくなりやすい

マクロ経済学では、識別済みショック系列が手元にある場合、SVAR より LP のほうが解釈しやすいことも多いです。

11. マクロ実証での実務上の注意点

11.1 定常性と単位根

系列に単位根がある場合、安定 VAR の MA 表現はそのままでは使えません。
差分を取るのか、VECM にするのか、レベル VAR を近似として使うのかで IRF の解釈は大きく変わります。

とくに対数水準と成長率を混在させると、反応の単位が曖昧になりやすいので、

何がレベルか
何が前年差や前期差か
1 単位ショックが何 bp / 何 % を意味するか

を明示する必要があります。

11.2 ショックのスケーリング

構造ショックを分散 1 に正規化すると、IRF は「1 標準偏差ショックへの反応」になります。
一方、金融政策の文脈では「25bp の利上げショック」に読み替えたいことが多いので、推定後にスケーリングし直すのが普通です。

11.3 識別と因果解釈は別物

直交化されたからといって、すぐに因果ショックになったとは限りません。
必要なのは

同時点制約が経済理論と整合的であること
情報集合の取りこぼしが小さいこと
政策ルールの内生性が十分に処理されていること

です。
マクロ経済学で IRF を読むときは、グラフの形よりも先に「どの仮定でそのショックを構造化したのか」を確認すべきです。

11.4 反実仮想の範囲

IRF は通常、推定された線形近似の近傍での応答です。
巨大ショック、ゼロ金利制約、制度変更、期待形成の非線形性が強い局面では、線形 SVAR の IRF をそのまま政策評価に使うのは危険です。

12. まとめ

インパルス応答分析の数理を要約すると、流れは非常に明確です。

安定な縮約形 VAR を推定する
それを無限次 MA 表現 $y_t = \sum_{h=0}^\infty \Psi_h u_{t-h}$ に変換する
$\Psi_h$ を用いて「残差ショックへの応答」を定義する
さらに $\Sigma_u = B B'$ を分解して構造ショックを識別する
構造 IRF $\Psi_h B$ を経済学的に解釈する

したがって、IRF の本体は

\text{IRF}(h) = \Psi_h B

という式に凝縮されています。
ここで $\Psi_h$ は時系列ダイナミクス、 $B$ は経済学的識別を表します。

マクロ経済学では、推定結果の見栄えよりも

VAR の安定性
変数の前処理
識別制約の妥当性
信頼区間の構成

のほうが本質です。
インパルス応答分析は便利な可視化手法ですが、その中身は「動学系の係数列」と「識別仮定」の積である、という点を押さえておくと解釈を誤りにくくなります。